Πέμπτη, 31 Δεκεμβρίου 2009

Στάσιμο κύμα σε χορδή με σταθερά άκρα.

Με αφορμή την ανάρτηση «στάσιμο κύμα από ανάκλαση» του Θοδωρή Παπασγουρίδη, αλλά και κάποια σχόλια που ακολούθησαν, ας δούμε τι συμβαίνει πάνω σε μια χορδή με σταθερά άκρα, η οποία τίθεται σε ταλάντωση.

Άσκηση:
Έστω μια χορδή μήκους L=2m η οποία είναι τεντωμένη. Τοποθετούμε στο μέσον της μια πηγή, η οποία θέτει σε ταλάντωση τη χορδή με συχνότητα f0=2Ηz. Μόλις αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση η μορφή της χορδής, κάποια στιγμή t0 είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.



i)   Με ποια ταχύτητα διαδίδονται τα κύματα πάνω στη χορδή;
ii) Αυξάνουμε τη συχνότητα της πηγής στη τιμή f΄=3Ηz. Να εξετασθεί αν πάνω στη χορδή σχηματίζεται στάσιμο κύμα.
iii) Αυξάνουμε ξανά τη συχνότητα. Ποια είναι η επόμενη συχνότητα f1 για την οποία θα δημιουργηθεί ξανά στάσιμο κύμα πάνω στη χορδή;
iv) Ποιες τελικά συχνότητες ήχου ...... συνέχεια.

Τρίτη, 29 Δεκεμβρίου 2009

Στιγμιότυπα τρέχοντος και στάσιμου κύματος

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t0, όπου η ταχύτητα του σημείου Σ είναι μηδενική .

Η περίοδος ταλάντωσης του σημείου Σ είναι Τ=1s.
Α)   Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t΄= t0+1,5s, αν το κύμα είναι:
i) Τρέχον που διαδίδεται προς τα δεξιά.
ii)  Στάσιμο.
Β)   Αν η οριζόντια απόσταση των σημείων Σ και Μ είναι d=λ/8 πόση είναι η διαφορά φάσης μεταξύ τους στις δύο παραπάνω  περιπτώσεις;

Δείκτες διάθλασης και κρίσιμη γωνία.

Στο σχήμα φαίνεται η πορεία μιας ακτίνας η οποία διαδίδεται στα ελαστικά μέσα Κ και Λ.

i)   Δείξτε πάνω στο σχήμα τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης στα σημεία Α και Β.
ii)  Για τους δείκτες διάθλασης των δύο υλικών ισχύει:
α)  n1=n2    β)  n1> n2    γ)  n1 < n2
iii)  Αν αφαιρέσουμε την πλάκα Λ, να χαράξετε την πορεία της ακτίνας, μετά το σημείο Β.

Διάθλαση ακτίνας από πρίσμα


Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η τομή ενός πρίσματος, σχήματος ημικυκλίου ακτίνας R. Στο σημείο Α προσπίπτει μια ακτίνα με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του ημικυκλίου.

Να χαράξετε την πορεία της, μέχρι την έξοδό της από το πρίσμα, αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος είναι n=1,5.

Γωνία εκτροπής από ένα πρίσμα

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η τομή ενός πρίσματος, σχήματος ημικυκλίου ακτίνας R=√2cm. Στο σημείο Α, σε απόσταση (ΟΑ)=1cm  από το κέντρο του ημικυκλίου, προσπίπτει μια ακτίνα, κάθετα στην ΒΓ. Το μήκος του κύματος της ακτινοβολίας στο κενό είναι 400√2 nm και ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την παραπάνω ακτινοβολία n=√2.

i)     Κατά ποια γωνία εκτρέπεται η ακτίνα κατά το πέρασμά της από το πρίσμα;
ii)   Σε πόσα μήκη κύματος λ1 της ακτίνας στο πρίσμα, αντιστοιχεί η διαδρομή που διανύει μέσα σ’ αυτό;

Κυριακή, 27 Δεκεμβρίου 2009

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.

Τις προηγούμενες μέρες έγινε στο δίκτυο μια συζήτηση με θέμα «Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω με απλό τρόπο κάποια συμπεράσματα για όσους φίλους δεν την παρακολούθησαν, αλλά και για όλους που θα ήθελαν κάπως κωδικοποιημένα να κρατήσουν το συμπέρασμα.
Το ερώτημα είναι: Πόση επιτάχυνση έχει ένα σημείο Σ στην περιφέρεια ενός τροχού, όταν αυτός κυλίεται χωρίς ολίσθηση;
Έστω λοιπόν ότι ο τροχός του παρακάτω σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υ.
Ας παρακολουθήσουμε τι μετράνε δύο παρατηρητές. Ο ακίνητος Α επί του εδάφους και ο κινούμενος Κ, πάνω στο αυτοκίνητο.
Για τον κινούμενο παρατηρητή Κ το σημείο Σ έχει ταχύτητα υΣ = ωR=υ, λόγω κυκλικής κίνησης.
Για τον παρατηρητή Α το σημείο Σ έχει ταχύτητα:
Οπότε παραγωγίζοντας παίρνουμε:
Δηλαδή η επιτάχυνση του σημείου Σ, ως προς τον παρατηρητή Α, είναι το διανυσματικό άθροισμα της επιτάχυνσης του Σ, όπως τη μετράει ο κινούμενος παρατηρητής Κ και της επιτάχυνσης του κινούμενου συστήματος (αυτοκινήτου), που εδώ όμως είναι μηδενική.
Άρα:
Οι δύο παρατηρητές μετρούν την ίδια επιτάχυνση για το σημείο Σ.
Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε:
αΣΑ=αΣΚ
όπου οι δύο μετρούμενες επιταχύνσεις από τους παρατηρητές μας.
Να το πούμε με λίγο πιο Φυσικό τρόπο;
 Έστω ότι ένα υλικό σημείο εκτελεί κατακόρυφη κυκλική τροχιά δεμένο στο άκρο νήματος, πάνω στο αυτοκίνητο, όπως στο παρακάτω σχήμα.
Και οι δύο παρατηρητές «βλέπουν» τις ίδιες δυνάμεις (βάρος και ένδειξη δυναμομέτρου), άρα υπολογίζουν και την ίδια επιτάχυνση για το υλικό σημείο.
Ας δούμε τώρα τι επιταχύνσεις «βλέπουν» οι παρατηρητές για ένα σημείο στην περιφέρεια του τροχού, σε κάποιες περιπτώσεις.
Η συνέχεια σε  pdf.

Κυριακή, 20 Δεκεμβρίου 2009

Συμβολή σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Δύο σύγχρονες πηγές Ο1 και Ο2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με άκρα τα σημείο Ο1 και Ο2 όπου (Ο1Ο2)=4m. Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι:
y= 5 ημ2πt (y σε cm, t σε s)
i)    Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγονται θεωρώντας x=0 τη θέση της πηγής Ο1.
ii)   Να σχεδιάστε στιγμιότυπα που να δείχνει την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση τους x, ...   συνέχεια.

Πέμπτη, 3 Δεκεμβρίου 2009

Εξίσωση κύματος και φάσεις

Δίνεται ένα στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά και η εξίσωση του οποίου είναι:
y=0,2ημ2π(t-x+3/4)  (S.Ι.)

Τη στιγμή που ελήφθη το στιγμιότυπο η ταχύτητα του σημείου Ο στη θέση x=0 είναι μηδενική.
α) Να βρεθούν η περίοδος και το μήκος του κύματος.
β)   Ποια η φάση του σημείου Ο την στιγμή αυτή;
γ)  Σε ποια χρονική στιγμή ......... συνέχεια.

Δευτέρα, 23 Νοεμβρίου 2009

Στιγμιότυπο κύματος προς τα αριστερά.

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx και προς την αρνητική κατεύθυνση, με ταχύτητα υ=2m/s. Τη χρονική στιγμή  t=0 το κύμα φτάνει στο υλικό σημείο που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση) και διανύει απόσταση 0,2m πριν σταματήσει στιγμιαία σε χρονικό διάστημα 0,25s.
i)   Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
ii)  Για τη χρονική στιγμή t1=2,5s να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος, μεταξύ του σημείου Κ, που έχει φτάσει το κύμα και του  σημείου Λ στη θέση xΛ=3,5m.
iii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ... συνέχεια.


Κυριακή, 22 Νοεμβρίου 2009

Ένα αρμονικό κύμα και η εξίσωση απομάκρυνσης ενός σημείου.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx, διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=2m/s προς τη θετική κατεύθυνση και για t=0 φτάνει στο σημείο Ο στην αρχή (x=0) του άξονα. Το υλικό σημείο που βρίσκεται στο Ο αρχίζει την ταλάντωσή του κινούμενο με μέγιστη θετική ταχύτητα. Η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός υλικού σημείου Κ που βρίσκεται στη θέση xΚ δίνεται από την εξίσωση:
yΚ= 0,1∙ημ(4πt-2,5π)
α)  Ποια είναι η θέση του υλικού σημείου Κ;
β)  Ποια η ταχύτητα ταλάντωσης ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα, τη χρονική στιγμή t1 όπου το Κ έχει μηδενική ....συνέχεια.


Ένα κύμα προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx, διαδίδεται αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ=2m προς την αρνητική κατεύθυνση. Το σημείο Ο στην αρχή (x=0) του άξονα εκτελεί α.α.τ. με εξίσωση:
y= 2∙ημ2πt. (S.I.)
α)  Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για δύο υλικά σημεία Β και Γ που βρίσκονται στις θέσεις x1=+1m και x2= -2,5m.
β)  Τη στιγμή t1 το υλικό σημείο Β έχει ταχύτητα ...συνέχεια.

Τετάρτη, 18 Νοεμβρίου 2009

Σύνθετη ταλάντωση, φάσεις και διαφορές φάσεων.

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:
y1= 0,2∙ημ(20πt+5π/6) και
y2= 0,2∙ημ(21πt)   (S.Ι.)
i)   Ποια η αρχική φάση και η αρχική απομάκρυνση του σώματος εξαιτίας της σύνθετης ταλάντωσης;
ii)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για την σύνθετη ταλάντωση.
iii)  Να βρεθεί η χρονική στιγμή t1 που το πλάτος μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t2 που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.
iv)  Να βρεθούν οι φάσεις των δύο ταλαντώσεων και η διαφορά φάσης μεταξύ τους τις παραπάνω χρονικές στιγμές.
v)  Να σχεδιάστε τα περιστρεφόμενα διανύσματα τις χρονικές στιγμές  t1 και t2.

Σάββατο, 14 Νοεμβρίου 2009

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;


Σαν συνέχεια της ανάρτησης Γνωρίζοντας την εξίσωση του κύματος μπορούμε να χαράξουμε το στιγμιότυπο; Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα, που ενισχύει την θέση που υποστηρίχθηκε εκεί.
Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ=4m/s και για t=0 η μορφή του μέσου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
ii)  Να σχεδιασθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s
iii) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα.
Απάντηση:
i)   Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής της κυματικής παίρνουμε:
υ=λf  f=υ/λ=2Ηz και Τ=0,5s
Το σημείο Σ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς έχει αρχική φάση φ0=π και η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα είναι:
y= 0,1∙ημ(4πt+π) (S.Ι.)
Στο τυχαίο σημείο Τ στη θέση x, το κύμα θα καθυστερήσει να φτάσει το κύμα κατά:
t1= d/υ = (x+1)/4  s
και η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας... συνέχεια...

Δευτέρα, 9 Νοεμβρίου 2009

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση) και σε μια στιγμή t0=0, πήραμε ένα στιγμιότυπο σε μια περιοχή του μέσου (το κύμα έχει διαδοθεί και πέρα από τη θέση x=6m).

Το σημείο Β στη θέση x1=2m τη στιγμή αυτή έχει ταχύτητα μέτρου 1,57m/s και φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση τη στιγμή t1=1,5s.
i)   Ποια η ταχύτητα του κύματος;
ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iii)  Να σχεδιαστεί το αντίστοιχο στιγμιότυπο .... συνέχεια.

Εξίσωση και μορφή του κύματος.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση, διαδίδεται ένα κύμα με πλάτος Α=0,3m και ταχύτητα υ=2m/s. Στο πάνω σχήμα (α) δίνεται η εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t0=0.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος και να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t1=1,25s.
ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν τη στιγμή t0=0 η μορφή του μέσου .... συνέχεια.


Τετάρτη, 28 Οκτωβρίου 2009

Στιγμιότυπο κύματος και φάσεις.

Δίνεται το στιγμιότυπο (α) του παρακάτω  σχήματος κάποια χρονική στιγμή t0, για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, χωρίς αρχική φάση, ξεκινώντας από την πηγή που θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0.

i)   Ποια η φάση του σημείου Δ;
ii)  Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Β;
iii) Πόσες ταλαντώσεις έχει εκτελέσει η πηγή του κύματος;
iv) Αναφερόμενοι στο (β) σχήμα που το κύμα ....

Κυριακή, 25 Οκτωβρίου 2009

Σύνθεση ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες.

Ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:
x1=2ημ(100πt +π/2)
x2=2ημ104πt

(μονάδες στο S.Ι.)
α)  Ποιο το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης και ποια η απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t=0;
β)  Ποια είναι η εξίσωση της κίνησης που εκτελεί το σώμα;
γ) Για τις χρονικές στιγμές t1= 7/8s και t2= 9/8s, να ...


Τετάρτη, 21 Οκτωβρίου 2009

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 2009-10

Διάρκεια 3 ώρες.
ΘΕΜΑ 1ο.
Οι παρακάτω ερωτήσεις δεν απαιτούν δικαιολόγηση.

1)      Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. και για t=0 περνά από το σημείο Δ του σχήματος. Η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι:
α)  x=Αημωt                                          β)       x=Αημ(ωt+π/4)
γ)  x= Αημ(ωt-π/4)                                 δ)       x=Αημ(ωt+3π/4)
2)      Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. του ίδιου πλάτους και της ίδιας διεύθυνσης, οι συχνότητες των οποίων f1 και f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.     
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α)  Το σώμα εκτελεί α.α.τ.
β)  Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται εκθετικά με το χρόνο.
γ)  Η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι 2Α.
δ)  Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους, εξαρτάται από τη διαφορά f1-f2 και μεγαλώνει όταν η διαφορά αυτή ελαττώνεται.
3)      Στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου ταλαντώνεται ένα σώμα Σ1 μάζας 1kg με πλάτος Α και ενέργεια ταλάντωσης 10J. Αν στο άκρο του ίδιου ελατηρίου συνδέσουμε σώμα Σ2 μάζας 4kg το οποίο ταλαντώνεται με το ίδιο πλάτος Α, τότε:
i)     Η περίοδος ταλάντωσης του Σ2 θα ήταν τετραπλάσια αυτής του Σ1.
ii)    Η ενέργεια ταλάντωσης θα τετραπλασιαζόταν.
iii)  Η ενέργεια ταλάντωσης θα ήταν διπλάσια.
iv)  Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή.

Κυριακή, 18 Οκτωβρίου 2009

Φθίνουσα ταλάντωση και σταθερά απόσβεσης.

Στα κάτω άκρα δύο όμοιων κατακόρυφων ελατηρίων δένουμε δύο σώματα Α και Β της ίδιας μάζας και τα αφήνουμε να κινηθούν από τις θέσεις φυσικού μήκους των ελατηρίων, όπως στο παρακάτω σχήμα. 

Τα σώματα εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση εξαιτίας του αέρα.
Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Α σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Τη χρονική στιγμή t1 το Α σώμα έχει επιτάχυνση ή όχι; Αν ναι ποια η κατεύθυνσή της;
ii) Την παραπάνω στιγμή το Β βρίσκεται στη θέση x=0 ή όχι;
iii)  Πάνω στο παραπάνω διάγραμμα ...


Φθίνουσα ταλάντωση και απώλεια ενέργειας.

Στα κάτω άκρα δύο όμοιων κατακόρυφων ελατηρίων δένουμε δύο σώματα Α και Β από το ίδιο υλικό και με τις ίδιες μετωπικές επιφάνειες με μάζες Μ και 2Μ και τα αφήνουμε να κινηθούν από τις θέσεις φυσικού μήκους των ελατηρίων.

Τα σώματα εκτελούν φθίνουσες ταλαντώσεις εξαιτίας της αντίστασης του αέρα και τελικά σταματούν.
i)  Να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο (ποιοτικά διαγράμματα), στους ίδιους άξονες x-t και για τα δύο σώματα.
ii)  Αν η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται ...

Πέμπτη, 15 Οκτωβρίου 2009

Και μία και δύο ΑΑΤ…

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 200Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε έναν κατακόρυφο τοίχο.

Για t=0 ασκούμε πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=80Ν, μέχρι τη θέση που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα, όπου η δύναμη F καταργείται.
i)   Σε ποια θέση το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα;
ii)  Πόση είναι η ταχύτητα αυτή;
iii) Για πόσο χρόνο ασκείται ...

Τετάρτη, 14 Οκτωβρίου 2009

Μηχανικές Ταλαντώσεις. Ένα Τεστ.

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg εκτελεί α.α.τ. δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς 200Ν/m, όπως στο σχήμα, ενώ δίπλα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρείστε την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

i)   Πόση είναι η αρχική φάση της απομάκρυνσης;
ii)  Ποια χρονική στιγμή t1 το ελατήριο αποκτά το μικρότερο μήκος του για πρώτη φορά;
iii) Πάρτε το σώμα στην θέση που ήταν τη στιγμή t=0, σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του και υπολογίστε τα μέτρα τους.
iv) Κάποια στιγμή που το ελατήριο έχει το μικρότερο μήκος του, ....

Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2009

Άλλη μια ηλεκτρική ταλάντωση με αρχική φάση.

Η παρακάτω άσκηση είναι στην πραγματικότητα η συνέχεια της προηγούμενης ανάρτησης, (κλικ εδώ) όπου έχει αλλάξει απλά ο οπλισμός του πυκνωτή που φέρει το θετικό φορτίο, έχει δηλαδή αλλάξει ο οπλισμός αναφοράς….

Για το κύκλωμα του σχήματος, δίνονται Ε=6V, r=2Ω, R=10Ω, το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=3mΗ και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=10μF και είναι φορτισμένος με φορτίο 50μC με τον κάτω οπλισμό θετικά φορτισμένο. Ο διακόπτης δ1 είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα και ο διακόπτης δ2 ανοικτός.

Σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε t=0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ1 και ταυτόχρονα κλείνουμε τον δ2. Να βρείτε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος ...


Ηλεκτρική ταλάντωση με αρχική φάση.

Για το κύκλωμα του σχήματος, δίνονται Ε=6V, r=2Ω, R=10Ω, το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=3mΗ και ο πυκνωτής χωρητικότητα C=10μF. Ο διακόπτης δ1 είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα και ο διακόπτης δ2 ανοικτός.


α)  Πόση ενέργεια έχει το μαγνητικό πεδίο του πηνίου και πόση το ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή;
β)  Σε μια στιγμή την οποία θεωρούμε t=0, ανοίγουμε 

Τρίτη, 6 Οκτωβρίου 2009

Σύνθεση ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας.

Ένα υλικό σημείο εκτελεί δύο ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:
x1= 3∙ημ2πt  και x2= 2∙ημ(2πt-π)  (μονάδες στο S.Ι.)
Να γίνουν τα διαγράμματα σε συνάρτηση με το χρόνο ..

Διάγραμμα σε ηλεκτρική ταλάντωση.

Δίνεται το παρακάτω κύκλωμα όπου το πηνίο δεν είναι ιδανικό (έχει εσωτερική αντίσταση) και ο διακόπτης είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα.

α)  Έχει φορτίο ο πυκνωτής;
β) Για t=0 ανοίγουμε τον διακόπτη. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα 


Πέμπτη, 1 Οκτωβρίου 2009

Μια ερώτηση για μια γραφική παράσταση.

Ένα σώμα μάζας 2kg εκτελεί α.α.τ. με απομάκρυνση που δίνεται από την εξίσωση:
x= 0,4 ημ(2πt+5π/6)  μονάδες στο S.Ι.
Να γίνει η γραφική παράσταση .... συνέχεια

Τετάρτη, 30 Σεπτεμβρίου 2009

Ταλάντωση δύο σωμάτων και τάση του νήματος.

Τα σώματα Β και Γ με ίσες μάζες m1=m2=2kg ηρεμούν στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, όπως στο σχήμα. Τραβάμε το σώμα Γ προς τα κάτω απομακρύνοντάς το κατά d=0,2m και το αφήνουμε να εκτελέσει α.α.τ.

i)   Ποια η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της τάσης του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα;
ii)  Σε μια στιγμή που η τάση του νήματος 

Κυριακή, 27 Σεπτεμβρίου 2009

Μερικές γραφικές παραστάσεις στην απλή αρμονική ταλάντωση.

Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Κ και Λ, όπου (ΚΛ)=0,4m και τη χρονική στιγμή t0=0, περνά από το σημείο Μ, το οποίο απέχει κατά 0,3m από το Λ, κατευθυνόμενο προς τα δεξιά, όπου θεωρούμε την κατεύθυνση θετική.

Τη στιγμή αυτή δέχεται δύναμη επαναφοράς μέτρου F=10Ν. Τη χρονική στιγμή t1=π/30s η ταχύτητα του σώματος γίνεται μέγιστη για πρώτη φορά.

Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2009

Γραφικές Παραστάσεις Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων.


Κατά την μελέτη των Ταλαντώσεων, αλλά και των κυμάτων, συχνά απαιτείται να κάνουμε γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, οι οποίες είναι αρμονικές. Άλλωστε αυτό που χαρακτηρίζει τις αρμονικές ταλαντώσεις ή το αρμονικό κύμα, είναι η αρμονικότητα.
Τι μορφή έχει λοιπόν μια τέτοια συνάρτηση, που στην περίπτωσή μας θα δίνει ένα μέγεθος σε συνάρτηση με το χρόνο;
Η μορφή κάθε τέτοιας συνάρτησης είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

σχήμα (1)
Από εκεί και πέρα, το πρόβλημα είναι πού θα τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων, ποια στιγμή θα πάρουμε δηλαδή σαν t=0, ή ποια θέση είναι αυτή για την οποία x=0;

Πέμπτη, 17 Σεπτεμβρίου 2009

Χρόνος επαφής και κύκλος αναφοράς Ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 2kg αφήνεται από ορισμένο ύψος να πέσει στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς 200Ν/m, όπως στο σχήμα.
Το σώμα συσπειρώνει το ελατήριο κατά 0,3m, πριν κινηθεί 


Τρίτη, 8 Σεπτεμβρίου 2009

Δυνάμεις σε σώμα που εκτελεί γ.α.τ.

Ένα σώμα βάρους 10Ν ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k, επιμηκύνοντάς το κατά 10cm. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα κατά Α=10cm και αφήνοντάς το εκτελεί α.α.τ. Στο σχήμα φαίνεται η θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) η κάτω ακραία θέση (1) και μια τυχαία θέση (2).
i)   Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και στις τρεις παραπάνω θέσεις.
ii)  Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας και πόσο στη θέση (1);
iii) Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα:    
 α) στη θέση (1) κατευθύνεται προς τα πάνω        
 β) στη θέση (2) κατευθύνεται προς τα κάτω        
 γ) στη θέση ισορροπίας κατευθύνεται προς τα κάτω       
Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεμένες τις παραπάνω προτάσεις.
iv) Υπάρχει κάποια θέση συνέχεια...

Παρασκευή, 4 Σεπτεμβρίου 2009

Κεντρική δύναμη και στροφορμή.



Έστω ένα σώμα π.χ. ένας πλανήτης που κινείται με ταχύτητα υ, δεχόμενος δύναμη F που κατευθύνεται προς ένα σταθερό σημείο Η (κεντρική δύναμη). Δεν μας ενδιαφέρει πόσο είναι το μέτρο της, απλά να έχει κατεύθυνση προς ένα κέντρο..


Συνέχεια...
ή
σε pdf...

Δευτέρα, 31 Αυγούστου 2009

Αμείωτη και φθίνουσα Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στο σημείο Γ, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=200Ν/m. Σε μια στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης F=40Ν, όπως στο σχήμα.
i) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. και να βρεθεί η εξίσωσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική.
ii) Πόση ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης F κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου ταλάντωσης και πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης;
iii) Να γίνει το διάγραμμα της απόστασης s του σώματος από την αρχική θέση ηρεμίας του Γ, σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv) Αν η ταλάντωση του σώματος είναι φθίνουσα, Συνέχεια...

Κυριακή, 30 Αυγούστου 2009

Μεταβολή και Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.


Στην προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο Στροφορμή, είχαμε ορίσει την στροφορμή υλικού σημείου ως προς σημείο Ο, από την σχέση:
clip_image002
Έστω τώρα ότι πάνω σε ένα υλικό σημείο που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται (συνισταμένη) δύναμη F, πάνω στο ίδιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το σημείο Ο, φαίνεται στο σχήμα. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής αυτής της στροφορμής;
clip_image004
Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε:
clip_image002[7]
Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός υλικού σημείου, ως προς ένα σημείο Ο, είναι ίσος με την ροπή της δύναμης που ασκείται πάνω του, ως προς το Ο.


Εφαρμογή 1η:
Από σημείο Ο σε ύψος Η=20m, εκτοξεύεται για t=0 οριζόντια ένα μικρό σώμα, μάζας m=0,1kg με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. Για τη χρονική στιγμή t1=1s, ζητούνται:
α) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το Ο.
Δίνεται g=10m/s2.


Απάντηση:


Για την οριζόντια βολή και για τις κινήσεις πάνω clip_image012στους άξονες x και y, του διπλανού σχήματος, ισχύουν οι εξισώσεις:
υx= υ0 , υy=g∙t, x=υ0∙t και y= ½ gt2.
Έτσι για t=1s παίρνουμε:
υy= 10m/s, x=10m και y=5m.
Οπότε το σώμα έχει φτάσει στο σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υ=10√2m/s που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση.
Ποια είναι η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο;
Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς (επίπεδο της σελίδας) με φορά προς τα μέσα και μέτρο:
L= mυr∙ημφ
Όπου φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων clip_image014r και υ.
Αλλά με βάση το σχήμα ημφ= d/r έχουμε:
L=mυd
Όπου d η απόσταση του φορέα της ταχύτητας στο σημείο Α, από το σημείο Ο.
Αλλά με βάση τη Γεωμετρία, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, ενώ (ΓΔ)=(ΔΑ)=y=5m συνεπώς και (ΟΓ)=5m, οπότε d2+d2=(OΓ)2 άρα d=5/√2m και με αντικατάσταση στην (1) L=5 kgm2/s.
Έχει φασαρία;
Ας το ξαναδοκιμάσουμε:


Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Ο, είναι το διανυσματικό άθροισμα της στροφορμής εξαιτίας της ταχύτητας υx και της στροφορμής εξαιτίας της υy. Όπου και οι δύο αυτές συνιστώσες είναι κάθετες στο επίπεδο, η Lx θετική, ενώ η Ly αρνητική:
Άρα L=mυxy – mυyx
Και με αντικατάσταση L=5kgm2/s.

Αλλά και με λίγα περισσότερα Μαθηματικά:
clip_image016
Όπου υy= - 10m/s και y= -5m και με αντικατάσταση L=-5z kgm2/s.
To τελευταίο αποτέλεσμα μας λέει ότι το διάνυσμα της στροφορμής είναι κάθετο στο επίπεδο (άξονας z) και με φορά προς τα μέσα.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το σημείο Ο είναι:
dL/dt= -w∙x = -mgx
και με αντικατάσταση dL/dt= -10kgm2/s2.
Και αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο με φορά προς τα μέσα.


Εφαρμογή 2η:
Ένα υλικό σημείο μάζας 0,2kg κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=√2m.

Εκτρέπουμε το σώμα φέρνοντάς το στη θέση Α, όπου το νήμα σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο και το αφήνουμε να κινηθεί. Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς άκρο Ο του νήματος.
Δίνεται g=10m/s2.


Απάντηση:


Το σώμα θα εκτελέσει επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα l και ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, θα είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς, με φορά προς τα έξω και μέτρο:
dL/dt=ΣτΟ=+mgd=mgl∙ημθ
και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.


Εφαρμογή 3η:
Το σώμα της προηγούμενη εφαρμογής από τη θέση Α εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα, τέτοια ώστε να διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας r=d=1m (οπότε το νήμα διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου).
Ζητούνται:
α) Η ταχύτητα υ.
β) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
γ) Η προβολή της στροφορμής του σώματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα z που περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς (η στροφορμή κατά τον άξονα z).
δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Ο.



Απάντηση:


α) Με βάση το διπλανό σχήμα έχουμε:
ΣFy=0 → T συνθ=mg (1)
ΣFx=mυ2/r → Τημθ = mυ2/r (2)
Από (1) και (2) παίρνουμε:
clip_image002[9]
Και με αντικατάσταση:
clip_image002[11]
β) Για την θέση του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, η στροφορμή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η ταχύτητα και το νήμα, οπότε σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο που περνά από το Ο. Για το μέτρο της έχουμε L=mυl=0,4√5kgm2/s.
Καθώς το σώμα περιστρέφεται και το διάνυσμα της στροφορμής στρέφεται διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κατακορυφήν κώνου, αυτού που διαγράφει το νήμα.
clip_image026 clip_image028
γ) Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής* με βάση το σχήμα της προηγούμενης ερώτησης είναι:
image
*Αν υπολογίσουμε την στροφορμή του σώματος ως προς το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς του διαγραφόμενου κύκλου θα έχουμε:
image
Βλέπουμε δηλαδή ότι ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα z που είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, η κατακόρυφη στροφορμή, είναι όση και η στροφορμή ως προς το κέντρο του κύκλου Κ.


δ) Για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το σημείο Ο έχουμε:
dL/dt=Στ= mgd
και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.
Με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η διεύθυνση του βάρους (κατακόρυφη) και το σημείο Ο, συνεπώς οριζόντια διεύθυνση.


Σχόλια:


1) Η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται, αφού αλλάζει κατεύθυνση, παρότι διατηρεί σταθερό το μέτρο της. Η συνιστώσα όμως της στροφορμής πάνω στον άξονα z, γύρω από τον οποίο στρέφεται το στερεό, δεν μεταβάλλεται. Μεταβάλλεται μόνο η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, αφού διαγράφει οριζόντιο κύκλο.
Πράγματι ας δούμε τον κύκλο που διαγράφει η clip_image002[13]οριζόντια συνιστώσα.
Αν για t=0 η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής είναι η L1, μετά από χρόνο dt θα έχουμε
image
Και επειδή dt→0 και dφ→0, οπότε το διάνυσμα της μεταβολής της στροφορμής dL είναι κάθετο στο διάνυσμα L1, δηλαδή με άλλα λόγια η μεταβολή της στροφορμής (που έχει την κατεύθυνση της ροπής) είναι πάντα κάθετη στην οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, μεταβάλλοντας την κατεύθυνσή της και όχι το μέτρο της, όπως η κεντρομόλος δύναμη μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας αλλά όχι το μέτρο της.


2) Αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής 2 με αυτό της εφαρμογής 3δ, παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, πράγμα αναμενόμενο αφού στο σώμα ασκείται η ίδια ροπή (του βάρους). Και όμως στην πρώτη περίπτωση το σώμα κινείται προς τα κάτω διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεν συμβαίνει αυτό, αφού ο διαγραφόμενος κύκλος είναι οριζόντιος.


3) Ας μεταφέρουμε το παραπάνω συμπέρασμα, imageσε μια ρόδα ποδηλάτου. Αν την αφήσουμε όρθια και ακίνητη εξαιτίας της ροπής* του ζεύγους βάρος-κάθετη αντίδραση του επιπέδου, εκτρέπεται και πέφτει.
Αν όμως κινείται, πράγμα που σημαίνει ότι έχει στροφορμή οριζόντια, η αντίστοιχη ροπή του ζεύγους, θα προκαλέσει μια οριζόντια μεταβολή dL κάθετη στην αρχική στροφορμή, με αποτέλεσμα η ρόδα να «στρίβει» λίγο, χωρίς όμως να ανατρέπεται.
image
* Η ρόδα θα πέσει αν εκτραπεί ελάχιστα από την κατακόρυφη θέση, η οποία είναι μια θέση ασταθούς ισορροπίας.
dmargaris@sch.gr
Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf