Τρίτη, 31 Δεκεμβρίου 2013

Φάσεις και γραφικές παραστάσεις στην επιφανειακή συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού, τη στιγμή t0=0 τίθενται σε ταλάντωση ταυτόχρονα δυο πηγές με συχνότητα 1Ηz και με πλάτος 3mm, οπότε δημιουργούν κύματα τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερό πλάτος. Κάθε σημείο στο οποίο φτάνει ένα κύμα ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω. Ένα σημείο Σ απέχει αποστάσεις 0,6m και 1,2m από τις πηγές και το πρώτο κύμα, φτάνει στο Σ τη στιγμή t1=3s.
i)  Να υπολογιστούν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μήκος του κύματος.
ii) Αφού βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Σ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις:
 α) της απομάκρυνσης του σημείου Σ και
 β) της φάσης της απομάκρυνσης του Σ
μέχρι τη χρονική στιγμή t3=10s.
ή



Παρασκευή, 27 Δεκεμβρίου 2013

Μια λίγο διαφορετική συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού, βρίσκονται δυο πηγές κυμάτων Α και Β, οι οποίες ηρεμούν. Σε μια στιγμή θέτουμε σε κατακόρυφη ταλάντωση την Α πηγή, με συχνότητα f=1Ηz, οπότε διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού ένα κύμα, το οποίο μετά από 3s φτάνει σε ένα σημείο Μ, που βρίσκεται στην μεσοκάθετη της απόστασης των δύο πηγών απέχοντας d=1,5m από τις πηγές, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο με κατεύθυνση προς τα πάνω. Το πλάτος του κύματος μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από την πηγή και μετρώντας βρήκαμε ότι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Μ είναι 4mm.
Σταματάμε την Α πηγή και θέτουμε σε παρόμοια ταλάντωση τη Β πηγή, οπότε εξαιτίας του νέου κύματος που δημιουργείται το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος  3mm και με συχνότητα 1Ηz.
i)   Να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του πρώτου κύματος και να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του Μ σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν ταλαντώνεται μόνο η Α πηγή.
Κάποια στιγμή t0=0, θέτουμε την Α πηγή σε νέα ταλάντωση και τη στιγμή t1=1,5s θέτουμε σε ταλάντωση και τη πηγή Β. Και οι δυο πηγές ξεκινούν την ταλάντωσή τους κινούμενες αρχικά με φορά προς τα πάνω.
ii)  Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις:
α) της φάσης της απομάκρυνσης του Μ και
β) της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ,
για όλο το χρόνο ταλάντωσής του και μέχρι τη στιγμή t2=6s
ή


Πέμπτη, 26 Δεκεμβρίου 2013

Αν δίνεται μια κυματομορφή σεμια περιοχή.

Στο σχήμα δίνεται μια περιοχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου κάποια στιγμή t0, όπου η ταχύτητα του σημείου Ο έχει τιμή υο=0,4π m/s.
i)  Η κυματομορφή αυτή αντιστοιχεί σε τρέχον ή στάσιμο κύμα και γιατί; Να σχεδιάστε τη στιγμή αυτή την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β.
ii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης ενός τρέχοντος κύματος κατά μήκος του παραπάνω μέσου.
iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή της ίδιας περιοχής του μέσου τη χρονική στιγμή t0+0,75s.
iv)  Στην περίπτωση που τη στιγμή t0, οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Ο είναι μηδενικές, να σχεδιάστε ξανά τη μορφή του μέσου τη στιγμή t0+0,75s.
ή

Σάββατο, 21 Δεκεμβρίου 2013

Αν δίνονται άλλες πληροφορίες για ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα.

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, προς την θετική κατεύθυνση (από αριστερά προς τα δεξιά) και τη στιγμή t=0 φτάνει στο σημείο Κ στη θέση x=1,8m. Το σημείο Κ ξεκινά την ταλάντωσή κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει στην ακραία θέση του, σε απόσταση 0,2m σε χρονικό διάστημα Δt=0,25m, ενώ στο μεταξύ το κύμα έχει διαδοθεί φτάνοντας στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=0,1m.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, καθώς και η εξίσωση του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x1=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t2=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m x ≤ 0,5 m.
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
ή


Πέμπτη, 19 Δεκεμβρίου 2013

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Τα κύματα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όπως για διδακτικούς λόγους κάνουμε…
1.  Η διάδοση ενός παλμού.
Έστω ότι έχουμε ένα ελαστικό μέσο, π.χ. μια τεντωμένη οριζόντια χορδή. Εκτρέποντας το αριστερό άκρο της για ένα μικρό χρονικό διάστημα κατακόρυφα, μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν παλμό, ο οποίος μπορούμε να τον δούμε να διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Τέτοιοι παλμοί φαίνονται στο παρακάτω σχήμα να διαδίδονται προς τα δεξιά πάνω στην χορδή.
Οι παλμοί αυτοί μπορούν να έχουν διάφορες μορφές, όπως π.χ. τριγωνικοί ή και αρμονικοί.
Ας πάρουμε τώρα ένα παλμό όπως στο διπλανό σχήμα, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά και στο σχήμα δίνονται δύο θέσεις του που διαφέρουν χρονικά κατά Δt = t2-t1.  Ορίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του παλμού:
υ=s/Δt
Και αν θέλουμε να δώσουμε μια μαθηματική συνάρτηση για την διάδοση του παλμού αυτού; Αν θέλουμε δηλαδή μια κυματοσυνάρτηση  για να περιγράψουμε τόσο τη μορφή του παλμού, όσο και τη θέση του κάποια στιγμή, τι κάνουμε;

ή

Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου 2013

Έχουμε διάδοση ενέργειας;

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου κινούνται αντίθετα δύο όμοια κύματα, πλάτους Α, με ταχύτητες 1m/s και σε μια στιγμή t=0 έχουμε την εικόνα του παραπάνω σχήματος.
Α) Αν (ΑΜ)=(ΜΟ)=(ΟΝ)=(ΝΒ) να  εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων.
i)   Τη στιγμή t1=1s η απομάκρυνση του σημείου Μ είναι ίση με Α.
ii)  Τη στιγμή t2=1,5s η απομάκρυνση του σημείου Ο, είναι ίση με 2 Α.
iii) Μετά τη στιγμή t2=1,5s το σημείο Ν παραμένει διαρκώς ακίνητο.
iv) Το κύμα που κινείται προς τα αριστερά μεταφέρει με σταθερό ρυθμό ενέργεια στο τμήμα ΟΝ του μέσου.
Β) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t3=2s. Πάνω στο σχήμα να σχεδιάστε τις ταχύτητες των σημείων του μέσου μεταξύ των θέσεων Α και Β.
ή

Παρασκευή, 13 Δεκεμβρίου 2013

Ένα normal!!! κύμα…

Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά τη θετική κατεύθυνση. Θεωρούμε αρχή του άξονα το σημείο Ο του ελαστικού μέσου το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση με θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1m, ενώ η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του μέσου είναι  0,25m/s2. Ένα σημείο B του ελαστικού μέσου που βρίσκεται  στη θέση x = 0,3 m τη χρονική στιγμή t = 8 s βρίσκεται για 2η φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση.
Να βρεθούν:
i)  Το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Την εξίσωση του κύματος.
iii)  Την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου B τη χρονική στιγμή t1 = 11/3 s.
iv)  Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται μέχρι τη στιγμή t=8s, ένα σημείο Γ του θετικού ημιάξονα, που έχει απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του -5 cm και ταχύτητα θετική για πρώτη φορά.
v)  Να παρασταθεί γραφικά η φάση του σημείου Δ για το χρονικό διάστημα 0 έως 12 s, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Δ έχει μικρότερη φάση από το σημείο Β κατά π/2 rad τη χρονική στιγμή t.
Δίνεται π2≈10.
ή

Δευτέρα, 9 Δεκεμβρίου 2013

Ταλάντωση ενός σημείου κατά την διάδοση κύματος.

.Στην άκρη Ο μιας ομογενούς χορδής βρίσκεται πηγή κύματος η οποία ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,1 ημ(4πt)  (μονάδες στο S.I.). Το εγκάρσιο κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα 2m/s. Ένα σημείο Σ απέχει 1,25m από το άκρο Ο.
i)  Να βρεθεί η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σημείο Σ, καθώς  και η ταχύτητά του τις χρονικές στιγμές:
   α) t1=0,5s και  β) t2= 1,5s
ii)  Βρείτε την κινητική ενέργεια και τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε μια στοιχειώδη μάζα της χορδής 10-6kg, η οποία βρίσκεται στο Σ τη χρονική στιγμή t3=2s.
ή

Σάββατο, 7 Δεκεμβρίου 2013

Ένα κύμα οδεύει προς τ’ αριστερά.


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση xΡ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.
i)  Ποια η εξίσωση του κύματος;
ii) Να σχεδιάστε την μορφή του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος), μέχρι τη θέση x2=3m τη χρονική στιγμή t2=1,5s.
ή

Τρίτη, 3 Δεκεμβρίου 2013

Και μια άλλη εξίσωση κύματος.

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:
y= 0,5∙ημ2π(t-x/2+7/4) με tϵR και  t ≥ 0,5x-1,25   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου Μ, στη θέση xΜ=1m, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t2=3s.
v) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.
ή



Σάββατο, 30 Νοεμβρίου 2013

Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:
y= 0,2∙ημ2π(t-2,5x+4,5)  με tϵR και  t ≥ 2,5x-4,5   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t2=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m ≤ x ≤ 0,5 m.
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.
ή


Παρασκευή, 29 Νοεμβρίου 2013

Ένα μονωμένο σύστημα και ολίγον από ΑΑΤ.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) ηρεμούν δυο σώματα Σ1 και Σ2, με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=50Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,7m. Μετακινούμε το Σ1, μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει μήκος ℓ1=0,3m και σε μια στιγμή αφήνουμε τα σώματα να κινηθούν. Στο σώμα Σ2 έχει προσαρμοστεί ένα καρφάκι και μόλις περάσει στο οριζόντιο επίπεδο (2), όπου δεν είναι λείο, συγκρούεται με ένα ξύλινο σώμα Σ3, μάζας m3=4kg, το οποίο κινείται αντίθετα και το οποίο, τη στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα μέτρου υ3=0,5m/s. Κατά τη διάρκεια της κρούσης το καρφάκι καρφώνεται στο ξύλο, οπότε δημιουργείται συσσωμάτωμα, το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά την κρούση.
Δίνονται οι συντελεστές τριβής μεταξύ του επιπέδου (2) και του συσσωματώματος μ=μs=0,2, τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων και g=10m/s2.
i)   Να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ1 και Σ2 ελάχιστα πριν την κρούση (να μην ληφθεί υπόψη η ανάπτυξη τριβής στο Σ2 κατά την είσοδό του στο (2) επίπεδο).
ii)  Ποια η απόσταση των σωμάτων Σ12 τη στιγμή της κρούσης;
iii)  Να υπολογιστεί η τριβή που θα ασκηθεί στο συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση.
iii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ1, τη στιγμή που θα αρχίσει η ολίσθηση του συσσωματώματος.
ή



Δευτέρα, 25 Νοεμβρίου 2013

Από ένα στιγμιότυπο φάσεις και εξισώσεις κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς τα δεξιά, με συχνότητα 0,5 Ηz και στο σχήμα βλέπετε ένα στιγμιότυπο  του κύματος, κάποια στιγμή t0. Δίνονται οι αποστάσεις (ΑΒ)=(ΒΓ)=(ΓΔ)=(ΔΕ)= d=1 m, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σημείου Α είναι 0,4 m.
i) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρονικό διάστημα 2,5 s.
ii) Να βρεθεί η φάση των σημείων Α, Β, Γ, Δ και Ε τη στιγμή t0, καθώς και τη χρονική στιγμή t0+2,5 s.
iii) Αν το παραπάνω στιγμιότυπο δείχνει την εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t0=0, ενώ για να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, ορίζουμε ως αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Α, να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iv) Ποια θα ήταν αντίστοιχα η εξίσωση του κύματος, αν αλλάζαμε την αρχή του άξονα και παίρναμε x=0, το σημείο Γ;
ή

Η ταλάντωση μιας μεμβράνης.

Όταν μπροστά από ένα μικρόφωνο πάλλεται μια ηχητική πηγή Π1, η μεμβράνη του μικροφώνου, μάζας 2g, εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης  x1=3∙ημ(20πt)  (mm). Αν ταυτόχρονα φέρουμε δίπλα και μια δεύτερη ηχητική πηγή Π2 και θέσουμε ταυτόχρονα σε λειτουργία και τις  δύο πηγές, τότε η μεμβράνη εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=4∙ ημ(20πt+3π/2)  (mm).
i)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της μεμβράνης, αν αντί να πάλλονται και οι δύο, σιγήσει η πρώτη πηγή.
ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της μεμβράνης, όταν:
α) πάλλεται μόνο η πηγή Π1.
β) πάλλεται μόνο η πηγή Π2.
γ) πάλλονται και οι δύο πηγές.
iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μεμβράνης, στην περίπτωση που πάλλονται και οι δύο πηγές, τη χρονική στιγμή t1=1/30s.
ή


Παρασκευή, 22 Νοεμβρίου 2013

Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg κινείται με εξίσωση κίνησης:
x= 0,1∙ημ(20πt+5π/3) +  0,1∙ημ(22πt)   (S.Ι.)
i) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί μια περιοδική αλλά όχι αρμονική κίνηση, της οποίας να βρείτε τη συχνότητα.
ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t1 που το «πλάτος» μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t2 που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.
iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1=4/3s.
iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω χρονική στιγμή;
Δίνεται π2≈10.
ή

Τετάρτη, 20 Νοεμβρίου 2013

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg κινείται παλινδρομικά γύρω από μια θέση Ο και η εξίσωση κίνησής του είναι:
x= 0,5∙συν(20t) + 0,53∙ημ(20t)   μονάδες στο S.Ι.
όπου x η απομάκρυνση από το σημείο Ο.
i) Ν’ αποδειχθεί ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1= π/12 s.
iii) Αν επιπλέον η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσής του. Μπορεί η παραπάνω κίνηση να μην είναι ΑΑΤ, αλλά κάποια άλλη κίνηση; Εξηγείστε.
ή

Σάββατο, 16 Νοεμβρίου 2013

Απώλεια ενέργειας σε μια φθίνουσα ταλάντωση


Ένα ελατήριο σταθεράς k=40Ν/m  κρέμεται κατακόρυφα έχοντας φυσικό μήκος l0=0,5m. Δένουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας 2kg και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα. Σε μια στιγμή t1 το σώμα κινείται προς τα κάτω και το ελατήριο έχει μήκος l1=1,2m. Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα υ1= 2m/s ενώ επιβραδύνεται με ρυθμό 4,1m/s2. Να βρείτε:
i)  Την μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική από 0-t1.
ii) Τη σταθερά απόσβεσης b.
iii) Την ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t1.
iv) Τον ρυθμό με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t1.
Θεωρείται γνωστό ότι για την ταλάντωση που θα επακολουθήσει D=k και g=10m/s2.
ή

Τετάρτη, 6 Νοεμβρίου 2013

Αμείωτη και φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται ότι Ε=100V, C=80μF, το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2Η, ενώ R=5Ω, και οι διακόπτες δ1, δ2 είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Υπενθυμίζεται ότι κλειστός διακόπτης δ2 σημαίνει βραχυκυκλωμένη αντίσταση, άρα σαν να μην υπάρχει στο κύκλωμα.
i)  Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο και πόση στον πυκνωτή;
ii) Σε μια στιγμή που θεωρούμε t0=0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ1.
α)  Εξηγείστε γιατί θα φορτιστεί ο πυκνωτής. Ποιος από τους οπλισμούς  του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο;
β)  Βρείτε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική ένταση.
iii)  Τη χρονική στιγμή t1=134π/3 ms ανοίγουμε και το διακόπτη δ2. Για αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη, να βρεθούν:
 α) Το φορτίο του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη.
 β) Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη με αντίσταση R1=10√3Ω.
 γ) Οι ρυθμοί μεταβολής των ενεργειών του πηνίου και του πυκνωτή.
ή

Παρασκευή, 25 Οκτωβρίου 2013

Πεδίο δύναμης και ελατήριο.

Στην προηγούμενη τοποθέτησή μου, με τίτλο «Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.» είχα περιλάβει το παρακάτω απόσπασμα:
Ας πάρουμε το παράδειγμα των δύο ελατηρίων, που είχα δώσει στο 6) ερώτημα της προηγούμενης τοποθέτησης. Και ας εφαρμόσουμε τη λογική που λέει, όλες οι ενέργειες, ως προς το ίδιο επίπεδο (και κυρίως όσον αφορά την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου).

Τα δυο σώματα ηρεμούν και εμείς υπολογίζουμε τις μηχανικές ενέργειες κάθε συστήματος, ως προς το ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
Στο (α) σχήμα, η μηχανική ενέργεια του συστήματος, είναι:
Εμ/1=0.
Στο (β) σχήμα αντίστοιχα για την μηχανική ενέργεια του συστήματος έχουμε:

Η συνέχεια σε pdf.


Τρίτη, 22 Οκτωβρίου 2013

Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.

"Τα  μαθηματικά  για τον Φυσικό δεν είναι και δεν πρέπει να είναι ανέκφραστα. Ή για να το πω αλλιώς, κόπος του φυσικού είναι, όχι µόνο να βγάλει τις εξισώσεις όπως ο μαθηματικός, αλλά και να τις διαβάσει µε τη Φύση παρέα."                                                                                                                              Θρασύβουλος Μαχαίρας.
Αν ένα σώμα κινείται σε ένα πεδίο δυνάμεων, τότε δεν έχω κανένα περιορισμό και σύμφωνα με την θεωρητική μηχανική, πράγματι μπορώ να ορίσω αυθαίρετα το σημείο στο οποίο θα πάρω μηδενική τη δυναμική ενέργεια.
Έτσι αν πάρουμε το παράδειγμα του βαρυτικού πεδίου, όπου στο σημείο Α αφήνεται ένα σώμα και όπου ορίζουμε ότι U=0. Την τιμή U=0 την δώσαμε αυθαίρετα προφανώς. Το σώμα θα κινηθεί και θα έχουμε εμφάνιση κινητικής ενέργειας, πράγμα που σημαίνει απλά ότι θα μεταβεί σε μια νέα θέση με αρνητική τιμή δυναμικής ενέργειας.  Θα υπάρξει δηλαδή μείωση της δυναμικής ενέργειας. Δεν μου δημιουργεί κανένα πρόβλημα στην φυσική μου ερμηνεία η ενεργειακή αντιμετώπιση του προβλήματος. Άλλωστε γνωρίζω ότι αυτό που έχει φυσική αξία είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας και όχι  η ίδια η τιμή της.
Αλλά, ας πάρω ένα σημείο Α, όπου η δυναμική ενέργεια είναι διάφορη του μηδενός και η δύναμη μηδενική. Αφήνουμε το σώμα στη θέση αυτή και δεν κινείται.
Εδώ για μένα δημιουργείται πρόβλημα στη  φυσική μου διαίσθηση και λογική. Τι σημαίνει το σώμα έχει δυναμική ενέργεια; Βέβαια θα μπορούσε να αντιταχθεί ένα παράδειγμα ενός γραμμικού μέσου, που το δυναμικό σε συνάρτηση με το x να δίνεται από μια από τις δύο παρακάτω γραφικές παραστάσεις.
....
Η συνέχεια από εδώ.
ή

Κυριακή, 20 Οκτωβρίου 2013

Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.

Κάνω μια προσπάθεια κωδικοποίησης της άποψης, που από την αρχή είχα εκφράσει ότι, δεν πρέπει να  συγχέουμε τη μηχανική ενέργεια με την ενέργεια ταλάντωσης.
1)      Δυναμική ενέργεια.
Αν μια δύναμη είναι συντηρητική, το έργο της είναι ανεξάρτητο της διαδρομής και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση. Αλλά αυτό μας επιτρέπει να ορίσουμε μια ποσότητα, που ονομάζουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε θέση, έτσι ώστε να ισχύει:
WΑΒ= UΑ-UΒ.
Ο παραπάνω ορισμός, δεν μας λέει πού η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική και πόση πραγματικά είναι αυτή η ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια παίρνει μια αυθαίρετη τιμή, αφού αυτό που μας ενδιαφέρει δεν είναι η τιμή της, αλλά η μεταβολή της.
Παράδειγμα. Όταν βρίσκομαι στην Τρίπολη και πρόκειται να ανέβω στον Πάρνωνα  κατά 500m, αυτό που με ενδιαφέρει είναι αυτή η υψομετρική διαφορά και η βενζίνη που θα χρειαστώ για την ανάβαση και όχι πόσο υψόμετρο έχει από την επιφάνεια της θάλασσας η Τρίπολη ή ο Μαλεβός!!! (Μαλεβός=Πάρνωνας).
2)      Μηδενική δυναμική ενέργεια.

Η προηγούμενη θέση μας επιτρέπει να θέσουμε το μηδέν της δυναμικής ενέργειας όπου εμείς θέλουμε και μπορούμε να το κάνουμε. Αλλά αν δεν υπάρχει κάποιος σημαντικός λόγος εξαίρεσης, ο ορισμός δεν πρέπει να προσβάλλει τη φυσική μας διαίσθηση.

Η συνέχεια εδώ.
ή

Σάββατο, 19 Οκτωβρίου 2013

Άλλη μια κρούση κατά τη διάρκεια ταλάντωσης.

Τα σώμα Β και Γ με μάζες m1=0,1kg και m2=2m1=0,2kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα οριζόντιων ελατηρίων με σταθερές k1=30Ν/m και k2=2k1= 60Ν/m αντίστοιχα, όπως στο σχήμα, όπου οι άξονες των δύο ελατηρίων συμπίπτουν. Τα σώματα που θεωρούνται υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων απέχουν κατά d=0,3m. Ασκώντας κατάλληλες δυνάμεις στα σώματα, συσπειρώνουμε κάθε ελατήριο κατά 0,3m και αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα να εκτελέσουν ΑΑΤ. Μετά από λίγο τα σώματα συγκρούονται πλαστικά, οπότε το συσσωμάτωμα εκτελεί μια νέα ΑΑΤ με σταθερά D=k1+k2.
Ζητούνται:
i)   Η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σώματος πριν την κρούση.
ii)  Η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος.
iii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας (η ενέργεια που εμφανίζεται ως αύξηση της θερμικής ενέργειας των σωμάτων, συν ενέργεια μόνιμης παραμόρφωσης των σωμάτων, συν ενέργεια ήχου…), που οφείλεται στην κρούση.
ή

Κυριακή, 13 Οκτωβρίου 2013

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια Ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 3kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k1= k=100Ν/m, όπως στο σχήμα, ευρισκόμενο σε ύψος h=0,7m  από το έδαφος. Ασκώντας πάνω του μια εξωτερική δύναμη F1, το μετακινούμε κατακόρυφα ανεβάζοντάς το κατά d=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, εκτελώντας ΑΑΤ. Θεωρείστε ότι το σώμα, αμελητέων διαστάσεων, έχει μηδενική δυναμική ενέργεια όταν βρίσκεται στο έδαφος και g=10m/s2.
i)   Να υπολογίσετε την αρχική μηχανική ενέργεια του  συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο καθώς και το έργο της εξωτερικής δύναμης F1 για την εκτροπή του σώματος. Πόση είναι τελικά η μηχανική ενέργεια του συστήματος και πόση η ενέργεια ταλάντωσης;
ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τοποθετούμε κάτω από το σώμα ένα δεύτερο κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k2=k και φυσικού μήκους ℓ0=0,9m, με τον άξονά του να ταυτίζεται με τον άξονα του πάνω ελατηρίου και αφήνουμε το σώμα να κινηθεί. Να αποδείξτε ότι μόλις το  σώμα έρθει σε επαφή με το κάτω ελατήριο, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση, η οποία είναι επίσης ΑΑΤ, υπολογίζοντας την ενέργεια της ταλάντωσης αυτής.
iii) Να υπολογίστε τη μηχανική ενέργεια του συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο στη διάρκεια της δεύτερης ταλάντωσης.
ή



Πέμπτη, 10 Οκτωβρίου 2013

Μια ταλάντωση με κρούση. Ορμή και ενέργειες.

Το σώμα Σ μάζας m1 ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, µε πλάτος Α και περίοδο Τ. Όταν το σώμα µάζας Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας συγκρούεται πλαστικά µε το σώμα Β, μάζας m2 που έπεφτε ελεύθερα από ύψος h,  και το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται.
i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:
α)  Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έµεινε η ίδια.
β)  Κατά τη διάρκεια της κρούσης η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται
γ) Η ορμή του συστήματος στην οριζόντια διεύθυνση, ελάχιστα πριν την κρούση, είναι ίση με την ορμή του ελάχιστα µετά την κρούση.
δ) Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε.
ε) Η ενέργεια της ταλάντωσης μειώθηκε.
ii) Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση, σε συνάρτηση με το ύψος h. Πότε η απώλεια αυτή είναι ελάχιστη;
iii) Αν η κρούση δεν πραγματοποιηθεί στη θέση ισορροπίας, αλλά σε απομάκρυνση x, να βρεθεί η συνθήκη για την ελάχιστη μείωση της ενέργειας ταλάντωσης.
ή