Δευτέρα, 29 Δεκεμβρίου 2014

Μια χορδή, δύο στάσιμα κύματα.

Σε μια χορδή με σταθερά άκρα, μπορούν να σχηματισθούν στάσιμα κύματα, όπως στο παραπάνω σχήμα, με το ίδιο πλάτος Α. Έστω δυο ίσες στοιχειώδεις σημειακές μάζες m1 και m2, στις θέσεις των πρώτων κοιλιών Κ1 και Κ2 αντίστοιχα.
Αν η μέγιστη κινητική ενέργεια που αποκτά η μάζα m1 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, είναι Ε1, τότε η μέγιστη κινητική ενέργεια της μάζας m2 είναι Ε2, όπου:
i) Ε2< Ε1,   ii)  Ε2 = Ε1,    iii) Ε2 > Ε1.
Να δικαιολογήστε την επιλογή σας.

ή



Παρασκευή, 26 Δεκεμβρίου 2014

Διάδοση κυμάτων και συμβολή τους.

Στις θέσεις x1=0 και x2=10m ενός ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχουν δύο πηγές Ο1 και Ο2 εγκαρσίων κυμάτων, που διαδίδονται με ταχύτητα υ. Για t=0 οι δύο πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται με εξίσωση y=Α∙ημωt (S.Ι.), οπότε δημιουργείται ένα κύμα εξαιτίας της Ο1 το οποίο διαδίδεται προς τα δεξιά και ένα κύμα εξαιτίας της Ο2, που διαδίδεται προς τ’ αριστερά. Κύματα δημιουργούνται μόνο στο χώρο μεταξύ των δύο πηγών.
i)  Στο σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου τη στιγμή t1=1,5s, εξαιτίας του κύματος από την πρώτη πηγή.
Να συμπληρωθεί το σχήμα, ώστε να φαίνεται και η διάδοση της διαταραχής εξαιτίας της δεύτερης πηγής Ο2.
ii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές t2=2,5s και t3=3,5s.
iii) Να βρεθούν οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ στις θέσεις xΒ=5m και xΓ=6m τις παραπάνω χρονικές στιγμές, αν το πλάτος της ταχύτητας ταλάντωσης κάθε πηγής είναι 0,5m/s.

ή
Διάδοση κυμάτων και συμβολή τους.

Δευτέρα, 22 Δεκεμβρίου 2014

Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο.

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται ένα τμήμα ενός στιγμιότυπου, μιας περιοχής στην οποία έχουμε μια κυματική διαταραχή τη χρονική στιγμή t1.
i)  Το παραπάνω στιγμιότυπο:
 α) Ανήκει σε τρέχον κύμα,
 β) Ανήκει σε στάσιμο κύμα,
 γ) Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
ii) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι μηδενική ενώ του Γ είναι διάφορη του μηδενός, το κύμα είναι τρέχον ή στάσιμο και γιατί;
iii) Αν το κύμα είναι στάσιμο και το σημείο Γ κινείται προς τα πάνω, τότε το σημείο Β:
 α) κινείται προς τα πάνω,
 β) κινείται προς τα κάτω,
 γ) έχει μηδενική ταχύτητα
iv) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ είναι κατακόρυφη με φορά προς τη θέση ισορροπίας του, ενώ η ταχύτητα του Β μηδενική, το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;
v) Αν τη στιγμή t2= t1+Δt, όπου Δt<Τ/4 το στιγμιότυπο της ίδιας περιοχής είναι όπως στο δεύτερο σχήμα, το στιγμιότυπο αυτό ανήκει σε στάσιμο ή τρέχον κύμα; Αν είναι τρέχον, προς τα πού κινείται; Προς τα δεξιά ή προς τ’ αριστερά;

ή
Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο.
Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο.


Πέμπτη, 18 Δεκεμβρίου 2014

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Σε δύο σημεία Ο1 και Ο2, τα οποία απέχουν απόσταση (Ο1Ο2)=d=4m, ενός άπειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υπάρχουν δυο πηγές κύματος, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t0=0 ταυτόχρονα, προς την θετική κατεύθυνση, με αποτέλεσμα να δημιουργούν κύματα με πλάτος 0,4m και με συχνότητα 1Ηz. Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις με ταχύτητα 2m/s, χωρίς αποσβέσεις.
 Θεωρούμε τη θέση Ο1 ως αρχή του άξονα x και μας απασχολεί το τι συμβαίνει δεξιά της πηγής Ο1 (x>0).
i) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που διαδίδονται κατά μήκος του μέσου.
ii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t1=0,75s.
iii) Να σχεδιάστε επίσης τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές:
Α) t2=3s   και    Β)  t3=3,25s.
ή

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.
Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.




Κυριακή, 14 Δεκεμβρίου 2014

Ένα ελαστικό μέσο – Δύο «αντίθετοι» παλμοί.


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο παλμοί, ίδιου πλάτους και «μήκους κύματος» όπως στο πάνω σχήμα.
i)  Η φάση της απομάκρυνσης του σημείο Β είναι ίση με ……, του σημείου Δ …….., του Γ  ………. και του Ε ……….
ii) Να σχεδιάστε στο πρώτο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Δ και Ε.
iii) Να συγκρίνετε τα μέτρα των ταχυτήτων των παραπάνω σημείων.
iv) Μετά από λίγο, οι δύο παλμοί συναντώνται στο σημείο Κ. Να σχεδιάστε ξανά τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων που έχουν σημειωθεί στο μεσαίο σχήμα.
v)  Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι 1m/s (πάνω σχήμα), πόση είναι η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ (μεσαίο σχήμα);
vi) Στο κάτω σχήμα, να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη στιγμή που τα άκρα και των δύο παλμών είναι τα σημεία Μ και Σ.
vii) Πόσο είναι η ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων Μ και Σ;
viii) Κάθε παλμός μεταφέρει ενέργεια κατά τη διάδοσή του. Με ποια μορφή εμφανίζεται η ενέργεια του κύματος στο τελευταίο σχήμα;

ή
Ένα ελαστικό μέσο – Δύο «αντίθετοι» παλμοί.
Ένα ελαστικό μέσο – Δύο «αντίθετοι» παλμοί.


Πέμπτη, 11 Δεκεμβρίου 2014

Ένα ελαστικό μέσο – Δύο παλμοί.



Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο πανομοιότυποι παλμοί, όπως στο πάνω σχήμα και τα σημεία Δ και Η απέχουν εξίσου από τη θέση ισορροπίας.
i)  Η φάση της απομάκρυνσης του σημείο Β είναι ίση με ……, του σημείου Ε …….., του Γ  ………. και του Ζ ……….
ii) Να σχεδιάστε στο πρώτο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η.
iii) Να συγκρίνετε τα μέτρα των ταχυτήτων των παραπάνω σημείων.
iv) Μετά από λίγο, οι δύο παλμοί συναντώνται στο σημείο Κ. Να σχεδιάστε ξανά τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων που έχουν σημειωθεί στο μεσαίο σχήμα.
v)  Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι 1m/s (πάνω σχήμα), πόση είναι η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ (μεσαίο σχήμα);
vi) Στο κάτω σχήμα, να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη στιγμή που τα άκρα και των δύο παλμών είναι τα σημεία Ρ και Σ.
vii) Πόσο είναι η ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων Ρ και Σ;
viii) Κάθε παλμός μεταφέρει ενέργεια κατά τη διάδοσή του. Με ποια μορφή εμφανίζεται η ενέργεια του κύματος στο τελευταίο σχήμα;

Κυριακή, 7 Δεκεμβρίου 2014

Πληροφορίες από ένα διάγραμμα φάσης.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο διάγραμμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t1=8s, όπου τη στιγμή t0=0  ξεκίνησε η πηγή του κύματος, την ταλάντωσή της.
i) Το κύμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;
ii) Να βρεθεί η περίοδος και το μήκος του κύματος.
iii) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος, αν το πλάτος του είναι 0,5m;
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος την παραπάνω στιγμή.
 Πληροφορίες από ένα διάγραμμα φάσης.



Τετάρτη, 3 Δεκεμβρίου 2014

Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, χωρίς απώλειες ενέργειας και στο διπλανό σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου, κάποια στιγμή που παίρνουμε ως t0=0. Τη στιγμή αυτή, η κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας 2mg που βρίσκεται στη θέση x=1m, είναι 10-5J.
i)  Να βρεθούν η συχνότητα, το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1,5s.
iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης ενός σημείου Β στη θέση x1=-0,4m.
Θεωρείστε ότι π2≈10.
ή
Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.
Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.



Κυριακή, 30 Νοεμβρίου 2014

Σειρά για μια τρίτη εξίσωση κύματος!!!


Στο σχήμα δίνεται η μορφή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς  τα δεξιά, τη χρονική στιγμή t1=1s. Η περίοδος του κύματος είναι Τ=1s.
i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iii) Να σχεδιαστεί ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=3s, για το θετικό ημιάξονα x.
iv) Να βρεθούν στη περιοχή -1m x 4m τα σημεία, τα οποία τη στιγμή t2=1,5s έχουν απομάκρυνση y=+0,2m.

ή
Σειρά για μια τρίτη εξίσωση κύματος!!!.


Πέμπτη, 27 Νοεμβρίου 2014

Μια άλλη εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Θεωρώντας έναν άξονα x, με θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, το κύμα φτάνει τη στιγμή tο=0 σε σημείο Β στη θέση xΒ=0,5m. Το σημείο Β τη στιγμή που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει σε ακραία θέση ταλάντωσης με απομάκρυνση 0,5m, περνώντας ξανά για πρώτη φορά από την αρχική του θέση τη στιγμή t1=0,5s. Τη χρονική στιγμή t2=0,75s το κύμα φτάνει σε ένα άλλο σημείο Γ στη θέση xΓ=2m.
i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
ii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος και για τον θετικό ημιάξονα x τη χρονική στιγμή t3=2s.
iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση φ=φ(t) της φάσης του σημείου Γ σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου Δ μάζας 1mg το οποίο βρίσκεται στη θέση x=1m, τη στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο Γ.

ή
Μια άλλη εξίσωση κύματος.
Μια άλλη εξίσωση κύματος.


Κυριακή, 23 Νοεμβρίου 2014

Μια εισαγωγή στην εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Το κύμα φτάνει τη στιγμή tο=0 στην αρχή x=0  του άξονα, ενώ τη στιγμή t1=2s σε σημείο Β στη θέση xΒ=3m. Το σημείο Β τη στιγμή που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει σε ακραία θέση ταλάντωσης με απομάκρυνση 0,5m, μετά από χρόνο 0,25s.
i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
ii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος και για τον θετικό ημιάξονα x τη χρονική στιγμή t2=3,5s.
iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο:
 α) της απομάκρυνσης και β) της ταχύτητας
 του σημείου Β.
iv) Αν στο σημείο Β βρίσκεται ένα υλικό σημείο μάζας 1mg, να βρείτε τη δύναμη που δέχεται από τα διπλανά του υλικά σημεία, τις χρονικές στιγμές:
α) t3=1,5s  και  β) t4=2,125s.

ή
Μια εισαγωγή στην εξίσωση κύματος.
Μια εισαγωγή στην εξίσωση κύματος.


Δευτέρα, 27 Οκτωβρίου 2014

Μια σύνθεση ταλαντώσεων και οι φάσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση αρμονικής δύναμης F1, όπως στο σχήμα. Μετά την λήξη των μεταβατικών φαινομένων και τη σταθεροποίηση του πλάτους, παίρνοντας κάποια στιγμή t0=0, η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x1= 0,1∙ημ(8πt+π/2)  (S.Ι.). Αν αντικαταστήσουμε τη δύναμη F1 με άλλη F2, η αντίστοιχη εξίσωση είναι x1= 0,1∙ημ(10πt+π/2) (S.Ι.).  Αν στο σώμα ασκηθούν ταυτόχρονα και οι δύο παραπάνω δυνάμεις, η αντίστοιχη  εξίσωση της κίνησης είναι:
x=0,1∙ημ(8πt+π/2) + 0,1∙ημ(10πt+π/2)   (S.Ι.)
i)    Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος ΔΕΝ είναι αρμονική, αλλά παρουσιάζει διακροτήματα.
ii)   Να βρεθεί η περίοδος του διακροτήματος.
iii)  Να βρεθεί το πλάτος και η απομάκρυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές:
α) t0=0s,    β) t1=0,5s,     γ) t2=1s.
iv)  Τις παραπάνω χρονικές στιγμές να υπολογιστούν οι φάσεις των δύο παραπάνω ταλαντώσεων και η διαφορά φάσης μεταξύ τους. Να σχολιάστε το αποτέλεσμα.
v)  Να υπολογιστεί η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος, τη χρονική στιγμή t3=0,25s.
vi) Να βρεθεί το πλάτος και η απομάκρυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές t0, t1, t2 αν η εξίσωση κίνησης του σώματος ήταν:
x=0,1∙ημ(8πt) + 0,1∙ημ(10πt)   (S.Ι.)

Πέμπτη, 23 Οκτωβρίου 2014

Ενέργειες σε μια φθίνουσα ταλάντωση.


Ένα σώμα μάζας 0,1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=10Ν/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά A0=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί τη στιγμή t0=0. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας την δράσης δύναμης απόσβεσης της μορφής Fαπ=-0,1υ (μονάδες στο S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος. Σε μια στιγμή t1 το σώμα κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα υ1=2m/s, πλησιάζοντας την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος και απέχοντας κατά 2cm από αυτήν.
Να υπολογιστούν:
i)   Η αρχική ενέργεια ταλάντωσης καθώς και η ενέργεια τη στιγμή t1.
ii)  Το έργο της δύναμης απόσβεσης από t=0, μέχρι την στιγμή t1.
iii) Η επιτάχυνση του σώματος την παραπάνω στιγμή.
iv) Οι ρυθμοί μεταβολής:
α) Της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης,     β)  Της κινητικής ενέργειας
και η ισχύς της δύναμης απόσβεσης τη στιγμή t1.
Δίνεται g=10m/s2.
ή
Ενέργειες σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

Τετάρτη, 15 Οκτωβρίου 2014

Αμαξίδιο και σώμα σε ταλαντώσεις.

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα αμαξίδιο μάζας Μ=3kg, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k1=120Ν/m. Πάνω στο αμαξίδιο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, δεμένο και αυτό στο άκρο δεύτερου οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k2=130Ν/m, όπως στο σχήμα, χωρίς να αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων . Θεωρούμε ότι τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων βρίσκονται στη θέση x=0. Τραβάμε αργά-αργά το αμαξίδιο προς τα αριστερά μετακινώντας το κατά d=0,2m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.
i)   Αν δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ αμαξιδίου και σώματος Σ, θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις x=x(t) της θέσης κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε βαθμολογημένους άξονες.
 ii)  Αν υπάρχουν τριβές μεταξύ σώματος και αμαξιδίου, με αποτέλεσμα να μην παρατηρείται ολίσθηση μεταξύ τους, να γίνει το διάγραμμα x=x(t) της θέσης του συστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής, μεταξύ των δύο σωμάτων για την παραπάνω κίνηση.
Δίνεται π2=10 και ότι κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων, το αμαξίδιο δεν κτυπά στα τοιχώματα, αλλά και το σώμα Σ δεν θα φύγει από το αμαξίδιο, ούτε θα κτυπήσει κάπου.
ή
Αμαξίδιο και σώμα σε ταλαντώσεις.