Τετάρτη, 30 Δεκεμβρίου 2015

Από ένα υλικό σημείο, σε ένα σωμάτιο ρευστού.

Α) Ένα σώμα, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας 0,2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τη στιγμή που περνά από μια θέση Α με ταχύτητα υ1=1m/s, δέχεται δύο δυνάμεις μέτρων F1=4Ν και F2=3Ν, όπως στο σχήμα, με την βοήθεια των οποίων, φτάνει σε σημείο Β, ενός δεύτερου οριζοντίου επιπέδου, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=0,5m, αφού περάσει από ένα κεκλιμένο επίπεδο. Σε όλη τη διαδρομή οι δυο δυνάμεις έχουν την διεύθυνση της ταχύτητας (η πρώτη με την ίδια φορά και η δεύτερη αντίθετη φορά από την ταχύτητα). Στην παραπάνω κίνηση δεν εμφανίζονται τριβές, ενώ το σώμα διανύει συνολικά διάστημα s=1,3m, από τη θέση Α, στη θέση Β.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ2 του σώματος στη θέση Β.
ii) Αν στη διάρκεια της παραπάνω μετακίνησης ασκείτο στο σώμα και δύναμη τριβής, για να εξασφαλίσουμε την ίδια ταχύτητα υ2, θα χρειαστεί να αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης F1 στην τιμή F1΄=5Ν. Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την μετακίνηση του σώματος από το Α στο Β.
Β) Σε ένα δίκτυο ύδρευσης, σε σημείο Α ενός οριζόντιου σωλήνα διατομής Α1=3cm2, έχουμε ροή νερού με ταχύτητα υ1=1m/s, ενώ η πίεση είναι ίση με p1=106.500Ρa . Ο σωλήνας εμφανίζει μια ανοδική πορεία καταλήγοντας σε άλλο οριζόντιο σωλήνα, διατομής Α2. Σε σημείο Β του σωλήνα αυτού, η πίεση είναι p2=105Ρa, ενώ η κατακόρυφη απόσταση των σημείων Α και Β είναι h=0,5m.
iii) Αν το νερό θεωρηθεί ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, να βρεθεί η διατομή του σωλήνα στο σημείο Β.
iv) Να υπολογιστεί το έργο που παράγει πάνω σε ένα σωμάτιο ρευστού όγκου V1=20cm3, το υπόλοιπο νερό, κατά τη μετάβασή του από το σημείο Α στο σημείο Β.
v) Το νερό βέβαια δεν είναι ιδανικό ρευστό, με αποτέλεσμα για να έχουμε την ίδια σταθερή παροχή, πρέπει να αυξήσουμε την πίεση στο σημείο Α στην τιμή pΑ=1,2∙105Ρa. Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την μετακίνηση του παραπάνω σωματίου ρευστού από το Α στο Β, εξαιτίας της τριβής.
Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2.
ή




Δευτέρα, 21 Δεκεμβρίου 2015

Προσθέτοντας νερό στο σωλήνα.

Στο παραπάνω σχήμα, ένα κυλινδρικό δοχείο ύψους h=96cm περιέχει νερό ως τη μέση του, ενώ στη βάση του είναι συνδεδεμένος ένας σωλήνας, με κατακόρυφο τμήμα το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105N/m2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
i)   Να υπολογιστεί η πίεση του εγκλωβισμένου στο δοχείο αέρα, πάνω από το νερό.
ii) Αν ο σωλήνας έχει διατομή Α=3cm2, ενώ ο κύλινδρος εμβαδόν βάσης Α1=120cm3 και προσθέσουμε νερό στο σωλήνα, με αποτέλεσμα να ανέβη κατά y1=h/16 η επιφάνεια του νερού στο δοχείο, να υπολογίστε τη μάζα του νερού που προσθέσαμε.
Η θερμοκρασία στη διάρκεια του πειράματος παραμένει σταθερή. Υπενθυμίζεται ο νόμος του  Βοyle για μια ισόθερμη μεταβολή pV=σταθ.
Απάντηση:
ή





Παρασκευή, 18 Δεκεμβρίου 2015

Οι πιέσεις σε ένα σωλήνα U.

Ο σωλήνας  του διπλανού σχήματος έχει ανοικτό το σκέλος Α και κλειστό το σκέλος του Β και περιέχει νερό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3. Η κατακόρυφη απόσταση των ελεύθερων επιφανειών στα δύο σκέλη είναι ίση με h=2m.
Να εξετάσετε αν στο σκέλος Β, πάνω από την επιφάνεια του νερού, περιέχεται αέρας ή όχι, Δίνεται pαtm=105Ν/m2 και g=10m/s2.
ή





Τρίτη, 15 Δεκεμβρίου 2015

Υγρό σε ισορροπία.

Ο σωλήνας του σχήματος, με ισοπαχή σκέλη εμβαδού Α=4cm2, περιέχει νερό, ενώ στο αριστερό σκέλος του ισορροπεί ένα έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Το ύψος του νερού στα δυο σκέλη, είναι h1=20cm και h2=40cm. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1g/cm3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ατμοσφαιρική πίεση είναι pα=105Ν/m2.
i)  Να υπολογίσετε την πίεση σε κάποιο σημείο, στη βάση του σωλήνα, καθώς και την δύναμη που ασκεί το νερό σε ένα τμήμα της βάσης (με κόκκινο χρώμα στο σχήμα) εμβαδού Α1=5cm2.
ii) Να υπολογιστεί η πίεση στην κάτω επιφάνεια  του εμβόλου.
iii) Να υπολογιστεί το βάρος του εμβόλου.
iv) Ασκούμε μια μεταβλητή κατακόρυφη δύναμη F, στο έμβολο και το φέρνουμε να ισορροπεί 10cm χαμηλότερα από την προηγούμενη θέση ισορροπίας  του. Να υπολογιστεί η τελική  τιμή της ασκούμενης δύναμης F.
ή





Κυριακή, 13 Δεκεμβρίου 2015

Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας.

Πάνω σε ένα τραπέζι έχει στρωθεί ένα λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους =0,1cm. Μια πλάκα μάζας m1=0,5kg και εμβαδού Α=0,2m2, ηρεμεί πάνω στην γλυκερίνη. Δένουμε την πλάκα με αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από αβαρή τροχαλία όπως στο σχήμα, στο άλλο του άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ, μάζας m2= 0,5kg, το οποίο κάποια στιγμή (t=0) αφήνουμε να κινηθεί.
i)  Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.
ii)  Αν μετά από λίγο, το σώμα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα πτώσης υ=10cm/s, να βρεθεί ο συντελεστής ιξώδους του μηχανέλαιου.
iii) Ποια η επιτάχυνση της πλάκας τη στιγμή που έχει ταχύτητα υ1=4cm/s, θεωρώντας ότι κάθε στιγμή ισχύει η γνωστή εξίσωση για την τριβή που ασκείται στην πλάκα από το μηχανέλαιο.
Δίνεται g=10m/s2.
ή






Πέμπτη, 10 Δεκεμβρίου 2015

Ένα στάσιμο κύμα ανάμεσα σε δυο σταθερά σημεία.

Μεταξύ  δύο σταθερών σημείων Τ1 και Τ2 βρίσκεται ένα γραμμικό ελαστικό μέσο, μήκους l=3m, στο οποίο έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Ένα σημείο Ο του ελαστικού μέσου απέχει κατά 1,3m από το δεξιό άκρο Τ2 και το λαμβάνουμε ως αρχή ενός συστήματος αξόνων (x,y). Με βάση αυτό το  σύστημα αξόνων,  το στάσιμο κύμα μπορεί να περιγραφεί από μια εξίσωση της μορφής:
y=2 Α∙συν(2πx/λ+φ0)∙ημ(2πt/Τ+θ0)  (1)
όπου τη στιγμή t=0, το σημείο Ο βρίσκεται  σε απομάκρυνση y=-0,1m με μηδενική ταχύτητα. Εξάλλου σε χρονικό διάστημα Δt=0,4s το Ο  εκτελεί δυο πλήρης ταλαντώσεις, ενώ η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά μια κοιλία του μέσου έχει μέτρο υmax=2π m/s.
i)  Να βρεθεί η συχνότητα και το πλάτος ταλάντωσης μιας κοιλίας του μέσου.
ii) Ποιες οι δυνατές τιμές της γωνίας φ0  που περιλαμβάνεται στην παραπάνω εξίσωση;.
iii) Αν φ0=π/3 rad να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος κατά μήκος του μέσου αυτού, αν μεταξύ του σημείου Ο και του σημείου πρόσδεσης Τ2 υπάρχουν δύο σημεία του μέσου που παραμένουν ακίνητα.
iv) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος.
v)  Να παρασταθούν στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t1=0 και t2=0,125 s, στο ίδιο σύστημα αξόνων.
ή






Δευτέρα, 7 Δεκεμβρίου 2015

Επιφανειακή συμβολή με διαφορετικά πλάτη.

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π1 και Π2, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα με εξισώσεις:
y1=0,1∙ημ(4πt) και y2=0,2∙ημ(4πt)  μονάδες στο S.Ι.
Έτσι δημιουργούνται επιφανειακά κύματα, τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερά πλάτη. Ένα σημείο Ο της επιφάνειας, απέχει αποστάσεις r1=6m και r2=4m αντίστοιχα από τις δύο πηγές. Το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή 10/3s.
i)  Να υπολογιστεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούνται.
ii)  Να βρεθεί η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων που θα υποχρεωθεί να εκτελέσει το σημείο Ο, λόγω συμβολής των κυμάτων.
iii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο μετά την συμβολή των δύο κυμάτων;
iv)  Να υπολογιστεί ο λόγος Κ12, όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια μιας μάζας m στο σημείο Ο και Κ2 η μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια, που μπορεί να έχει η ίδια μάζα, σε κάποιο άλλο σημείο της επιφάνειας του υγρού.
ή






Κυριακή, 6 Δεκεμβρίου 2015

Επιφανειακή συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός υγρού ηρεμούν δύο πηγές Π1 και Π2, όπως στο σχήμα (κάτοψη), όπου οι πηγές βρίσκονται σε σημεία δύο κάθετων μεταξύ τους αξόνων x και z, ενώ η πηγή Π1 απέχει κατά d1=1,5m από την αρχή Ο των αξόνων. Σε μια στιγμή t=0, οι δύο πηγές τίθενται ταυτόχρονα σε ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση με εξισώσεις y=0,2∙ημ2πt (S.Ι.). Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού και  δεχόμαστε ότι έχουν σταθερό πλάτος. Τη στιγμή t1=3s το πρώτο κύμα φτάνει στο σημείο Ο, ενώ το δεύτερο στο σημείο Σ, όπου (ΟΣ)=2m.
i) Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος καθώς και η απόσταση (ΟΠ2) της δεύτερης πηγής από την αρχή Ο των αξόνων.
ii) Να βρεθούν οι απομακρύνσεις και οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Σ και Ο τη στιγμή t3=4s.
iii) Πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σημείο Ο, μέχρι να φτάσει και το δεύτερο κύμα; Να βρεθεί η εξίσωση ταλάντωσης του Ο μετά τη συμβολή.
iv) Να υπολογιστεί ο λόγος Κ12 όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας m στο σημείο Ο, πριν την συμβολή και Κ2 η αντίστοιχη μέγιστη κινητική ενέργεια, μετά τη συμβολή.
v) Πόσα σημεία μεταξύ Σ και Ο, πάνω στον άξονα x, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;
ή

Παρασκευή, 4 Δεκεμβρίου 2015

Το κύμα ξέφυγε προς τ’ αριστερά.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα παραπάνω σχήματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Ένα σημείο Κ, βρίσκεται στη θέση xΚ=1,5m.
α) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) για το σημείο Κ και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv) Να βρείτε τη φάση της απομάκρυνσης  των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t1=2,25s, σε συνάρτηση του x και να κάνετε επίσης τη γραφική της παράσταση.
ή






Πέμπτη, 3 Δεκεμβρίου 2015

Οι βασικές εξισώσεις σε ένα τρέχον κύμα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Το κύμα φτάνει τη στιγμή tο=0 σε σημείο Ο, όπου η αρχή x=0  του άξονα, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά). Το Ο περνά ξανά από την αρχική θέση ισορροπίας του τη στιγμή t1=0,5s έχοντας διανύσει διάστημα 0,4m, ενώ τη στιγμή αυτή το κύμα φτάνει σε σημείο Β στη θέση xΒ=1m.
i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
ii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος και για τον θετικό ημιάξονα x τη χρονική στιγμή t2=1,75s.
iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο:
α) της απομάκρυνσης,  β) της ταχύτητας και  γ) της επιτάχυνσης
του σημείου Γ στη θέση xΓ=3m.
ή



Σάββατο, 28 Νοεμβρίου 2015

Η ροή στο στένωμα του σωλήνα.

Ένας οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας ακτίνας R1=8cm κάποια στιγμή παρουσιάζει ένα στένωμα (σχήματος κόλουρου κώνου), μήκους d=0,4m, καταλήγοντας σε δεύτερο κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R2=4cm. Στο σύστημα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή, όπου η ταχύτητα ροής στο σημείο Α είναι υ1=0,9m/s ενώ η πίεση p1=8.000Ν/m2.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα ροής καθώς και η πίεση στο σημείο Β του στενού σωλήνα.
ii) Ένα σημείο Γ, βρίσκεται στον άξονα των δύο σωλήνων, στο μέσον του στενώματος, απέχοντας κατά x=0,2m από το τέλος του φαρδιού σωλήνα.
α) Να υπολογισθεί η ταχύτητα ροής στο σημείο Γ.
β) Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας μιας μικρής ποσότητας ρευστού, όγκου 0,2cm3 κατά την μετακίνησή της, από το σημείο Α στο Γ.
γ) Ποια η τιμή της πίεσης στο σημείο Γ;
Το ρευστό θεωρείται ασυμπίεστο και ιδανικό, έχοντας πυκνότητα ρ=1.000kg/m3.
ή



Πέμπτη, 26 Νοεμβρίου 2015

Παίζοντας με μια σύριγγα.

Έχουμε γεμίσει μια κατακόρυφη σύριγγα με νερό, κλείνοντάς την στο κάτω μέρος με έμβολο εμβαδού Α=1cm2 και βάρους 0,2Ν, το οποίο δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα. Το ύψος της στήλης του νερού είναι h=10cm.
i)  Να υπολογιστεί η απαραίτητη δύναμη F που πρέπει να ασκούμε στο έμβολο για την ισορροπία του.
ii) Κλείνουμε με το δάκτυλο το άνω άνοιγμα της σύριγγας, διατομής ίσης με το 1/5 της διατομής του κύριου σωλήνα και αυξάνουμε την τιμή της δύναμης σε F1=2,2Ν. Πόση δύναμη πρέπει να ασκούμε με το δάκτυλο στο άνοιγμα για να μην έχουμε διαρροή νερού και ποια η πίεση στην πάνω επιφάνεια του εμβόλου;
iii) Κάποια στιγμή (t=0) τραβάμε το δάκτυλο και μεταβάλλοντας κατάλληλα την ασκούμενη δύναμη F στο έμβολο, πετυχαίνουμε το έμβολο να κινείται με σταθερή u=0,1m/s. Με τον τρόπο αυτό το νερό εκτινάσσεται κατακόρυφα προς τα πάνω.
α) Σε πόσο ύψος πάνω από την σύριγγα  θα φτάσει το νερό, αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα;

β) Να βρεθεί η πίεση στην πάνω πλευρά του εμβόλου σε συνάρτηση με το χρόνο.
Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. Με το τράβηγμα του δακτύλου, να θεωρείστε ότι αποκαθίσταται, σχεδόν άμεσα, μόνιμη και στρωτή ροή, χωρίς εσωτερικές τριβές ή τριβές του νερού με τα τοιχώματα, ενώ καθ' όλη τη διάρκεια του πειράματος η σύριγγα συγκρατείται σε σταθερή θέση.
ή






Κυριακή, 22 Νοεμβρίου 2015

Μια στρωτή ροή.

Σε ένα οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής 100cm2 έχουμε μια στρωτή ροή νερού. Σε δύο σημεία Β και Γ, τα οποία απέχουν οριζόντια απόσταση x=4m, συνδέονται δυο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, στους οποίους το νερό ανέρχεται σε ύψη h1=40cm και h2=39,6cm αντίστοιχα, όπως στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε t=0, η παροχή του σωλήνα, είναι Π0=0,2L/s.
i) Να βρεθούν οι ταχύτητες ροής στα σημεία Β και Γ τη στιγμή t=0.
ii) Να υπολογιστούν οι τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ, καθώς και η διαφορά πίεσης μεταξύ τους.
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση της ποσότητας του νερού, μεταξύ των σημείων Β και Γ.
iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β τη στιγμή t1=10s , καθώς και ο όγκος του νερού που εξέρχεται από το δεξιό άκρο του σωλήνα μέχρι τη στιγμή t1, θεωρώντας σταθερά τα ύψη του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες.
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό  ασυμπίεστο ρευστό το οποίο δεν εμφανίζει εσωτερική τριβή ή τριβή με τα τοιχώματα του σωλήνα. Δίνονται επίσης η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2,  η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2.
ή



Πέμπτη, 19 Νοεμβρίου 2015

Τρεις ανοικτές βρύσες και η αντλία.

Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή, στην επιφάνεια του εδάφους, με την βοήθεια μιας αντλίας (Μ), όπως στο σχήμα.  Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει ορισμένη διατομή Α1, ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται σχηματίζοντας φλέβες  με διατομές Α=0,3cm2. Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h=4m. Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και πλήρως τις τρεις βρύσες,  οπότε η παροχή της βρύσης του ισογείου είναι 0,45L/s. Θεωρώντας μηδενικό το συντελεστή ιξώδους, ενώ δεν υπάρχουν τριβές του νερού με τα τοιχώματα και τις ροές μόνιμες και στρωτές:
i)  Να βρεθούν οι παροχές στους δύο ορόφους.
ii) Ποια η ισχύς τη αντλίας;
iii) Βέβαια στην πραγματικότητα, η παραπάνω ροή δεν είναι στρωτή αλλά τυρβώδης, αφού το νερό δεν έχει μηδενικό συντελεστή ιξώδους. Έτσι λειτουργώντας η αντλία με την παραπάνω ισχύ, οι τρεις παροχές είναι ΠΑ=0,42L/s, ΠΒ=0,3L/s και ΠΓ=0,18L/s. Να βρεθεί η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της εσωτερικής τριβής που εμφανίζεται.
Δίνεται  η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2 , η  πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 .
ή