Κυριακή, 4 Δεκεμβρίου 2016

Το κύμα και η εξίσωσή του


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση (προς τα δεξιά) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα.
Η εξίσωση του κύματος έχει τη μορφή:

iv) Όλες οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να περιγράψουν το παραπάνω κύμα.





Παρασκευή, 2 Δεκεμβρίου 2016

Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου σε μια στιγμή που θεωρούμε ότι t0=0. Το κύμα αυτό φτάνει στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=5/3m τη στιγμή t1=5/6s. Με βάση τις πληροφορίες που δίνονται στο σχήμα, δυο μαθητές, προχωρούν στην «μαθηματική μελέτη» του κύματος, θέλοντας να απαντήσουν σε μια σειρά ερωτημάτων. Ο πρώτος (Γιάννης) θεωρεί αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Κ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, ο δεύτερος (Δημήτρης) παίρνει ως αρχή το σημείο Λ. Τα ερωτήματα είναι:
i) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t2=7/4s.
iv) Να υπολογιστούν τη στιγμή t2 η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ.
v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Λ σε συνάρτηση με το χρόνο.
Ποιες απαντήσεις δίνουν οι μαθητές;
ή 




Παρασκευή, 4 Νοεμβρίου 2016

Μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος.

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=20Ν/m, όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο συνδέεται με κατακόρυφο τοίχο με νήμα μήκους l=1m, το οποίο είναι τεντωμένο.  Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά (π/5)m και τη στιγμή t0=0, το αφήνουμε να κινηθεί. Λαμβάνοντας τη θέση Ο ως αρχή του άξονα (x=0) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, να βρεθούν:
i) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος.
ii) Η χρονική στιγμή t1 όπου θα σταματήσει η προς τα αριστερά κίνηση του σώματος.
iii) Η εξίσωση της θέσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο (x1=f(t)) , μέχρι τη στιγμή t1. Να γίνει και η αντίστοιχη γραφική.
iv) Αν σε μια άλλη περίπτωση, το σώμα εκτελούσε κίνηση με εξίσωση:
x=x1+2∙συν(πt)
όπου x1 η θέση του σώματος κατά την παραπάνω κίνηση, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t2=0,75s.
Δίνεται π2≈10.
ή

Κυριακή, 30 Οκτωβρίου 2016

Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.


Ένα σώμα μάζας  2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=25Ν/m. Σε μια στιγμή δέχεται περιοδική οριζόντια δύναμη F,με αποτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αποκατασταθεί σταθερή κατάσταση, λαμβάνοντας κάποια στιγμή σαν t=0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης
x=0,4∙ημ(πt) (μονάδες στο S.Ι.)
γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το  σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ= - 4υ  (S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος.
i) Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος.
ii) Για την χρονική στιγμή t1=1s ζητούνται:
α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.
β)   Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.
iii) Για τη χρονική στιγμή t2=13/6 s να υπολογιστούν:
α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.
β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.
γ)  Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F.
ή

Τρίτη, 18 Οκτωβρίου 2016

Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.

Δυο σώματα Σ1 και Σ2, ίδιας μάζας m=2kg, συγκρατιόνται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο απέχοντας κατά D=1,5m από την κορυφή του Ο. Το Σ1 είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m με φυσικό μήκος l0=1,2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε στήριγμα στη βάση του επιπέδου, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t0=0) αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα να κινηθούν.
i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση κάθε σώματος.
ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων, τη στιγμή t1 που αποκτούν ίσες επιταχύνσεις για πρώτη φορά.
iii) Πόσο απέχει κάθε σώμα από την κορυφή Ο του επιπέδου τη στιγμή t2 που μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώματος Σ1;
iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2, στο ίδιο διάγραμμα.
Το κεκλιμένο επίπεδο έχει κλίση θ, με ημθ=0,3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και π2≈10.
ή

Παρασκευή, 23 Σεπτεμβρίου 2016

Μια ταχύτητα και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 1kg εκτελεί ΑΑΤ και σε μια στιγμή (t0=0) περνάει από μια θέση Β, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, με ταχύτητα μέτρου υ1=0,4m/s. Μετά από λίγο αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του 0,5m/s, ενώ στη συνέχεια επιβραδύνεται και μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ, αφού διανύσει απόσταση (ΒΓ)=0,8m.
i) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης και η απομάκρυνσή του στη θέση Β.
ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στις θέσεις Β και Γ.
iii) Να βρεθεί η θέση του σώματος, τη στιγμή t΄=5π/2 s.
iv) Να κάνετε το διάγραμμα της (συνισταμένης) δύναμης που ασκείται στο σώμα, από το Β στο Γ, σε συνάρτηση με την μετατόπιση από την αρχική θέση Β. Στη  συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα της μετατόπισης. Τι μετράει το παραπάνω εμβαδόν;

ή




Τρίτη, 6 Σεπτεμβρίου 2016

Η πρώτη και η δεύτερη κρούση.

Δυο σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m1=1kg και m2=4kg, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο απέχοντας ορισμένη απόσταση d. Η σφαίρα Α εφάπτεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, χωρίς να είναι δεμένη σε αυτό. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στη σφαίρα Α την μετατοπίζουμε, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δℓ=(2/π)m και κάποια στιγμή t0=0, την αφήνουμε να κινηθεί. Η σφαίρα αφού εγκαταλείψει το ελατήριο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t1=0,55 s με τη Β σφαίρα.
i)  Να υπολογιστούν οι ταχύτητες της Α σφαίρας πριν και μετά την κρούση.
ii) Να εξηγήσετε (ποιοτικά) γιατί θα υπάρξει και δεύτερη σύγκρουση μεταξύ των δύο σφαιρών.
iii) Θεωρώντας αμελητέα τη διάρκεια της κρούσης, πόση θα είναι η απόσταση των δύο σφαιρών τη στιγμή t2=1,3 s;
 iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την δεύτερη μεταξύ τους κρούση.
Δίνεται π2≈10.
ή




Σάββατο, 3 Σεπτεμβρίου 2016

Οι ταχύτητες σε ελαστικές κρούσεις.

Οι σφαίρες Α και Β του διπλανού σχήματος, με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m αντίστοιχα, κινούνται στην ίδια ευθεία, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες υ1 και υ2=4m/s, χωρίς να στρέφονται. Κάποια στιγμή t=0, οι σφαίρες απέχουν κατά d=8m, ενώ μετά την κεντρική και ελαστική μεταξύ τους κρούση, η Α σφαίρα ακινητοποιείται.
i)  Να βρεθεί η ταχύτητα υ1 της Α σφαίρας.
ii) Πόσο απέχουν οι σφαίρες μεταξύ τους τη στιγμή t1=3s, αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα;
iii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση, αν η σφαίρα Α είχε ταχύτητα:
  α) υ1=6m/s και β) υ1=16m/s.
iv) Αν οι δυο σφαίρες κινούνται αντίθετα, όπως στο δεύτερο σχήμα, με τη Β να έχει ταχύτητα μέτρου 4m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα της Α σφαίρας, αν μετά την κρούση, η Β παραμένει ακίνητη.
ή